1. 第16节 群在集合上的作用

这段话是本节的开篇，旨在承上启下。

1. 回顾已知：作者首先提醒我们，我们并非第一次接触“作用”这个概念。在之前的学习中，我们已经遇到过一些具体的例子，尽管当时可能没有使用“群作用”这个术纯粹代数术语。
2. 列举例子：
   • 对称群：比如一个等边三角形，它的对称群包含了旋转和翻转操作。这些操作（群的元素）作用在三角形的顶点和边（集合的元素）上，使其位置发生变化，但整体上三角形看起来没变。正方形的对称群也是同理。
   • 旋转群：一个立方体，我们可以围绕它的不同轴进行旋转。所有这些旋转操作构成一个群。这些旋转作用在立方体的顶点、边和面上，改变它们在空间中的具体位置。
   • 一般线性群：这是指所有 $n \times n$ 的可逆矩阵构成的群，记作 $GL(n, \mathbb{R})$。这个矩阵群可以通过矩阵乘法作用在 $n$ 维向量空间 $\mathbb{R}^n$ 中的向量上，将其从一个向量变换为另一个向量。
3. 引出本节主题：基于这些具体的、直观的例子，作者指出本节的目标是将这种“作用”的概念从具体事物中抽象出来，给出一个普遍适用于任何群和任何集合的、严格的数学定义，即“群作用”（Group Action）的概念。
4. 预告后续内容：最后，作者埋下伏笔，告诉我们学习这个抽象概念有什么用。一个直接的应用就是在下一节（第17节）中，我们会利用群作用的理论来解决一些复杂的计数问题（比如计算一个立方体有多少种不同的染色方式）。这显示了抽象代数理论的威力——将一个具体问题抽象化，用普适的理论解决后，再应用回具体问题上。

这段话的目的是为了引出群作用的定义，它通过类比和推广我们熟悉的二元运算来做到这一点。

1. 回顾二元运算：
   • 首先，它回顾了二元运算的严格定义。一个集合 $S$ 上的二元运算（比如整数集合 $\mathbb{Z}$ 上的加法），本质上是一个函数。
   • 这个函数的输入是一个有序对 $(s_1, s_2)$，其中 $s_1$ 和 $s_2$ 都来自集合 $S$。这个输入空间就是 $S$ 与自身的笛卡尔积 $S \times S$。
   • 函数的输出是集合 $S$ 中的一个元素 $s_1 * s_2$。
   • 所以，二元运算 $*$ 是一个映射 $*: S \times S \rightarrow S$。这个性质通常被称为封闭性。
2. 推广“乘法”概念：
   • 接着，作者做了一个推广。既然 $*: S \times S \rightarrow S$ 可以看作是 $S$ 中元素的“乘法”，那么一个更一般的映射 $*: A \times B \rightarrow C$ 呢？
   • 这里，$A, B, C$ 是三个任意的集合。这个映射接收一个来自 $A$ 的元素 $a$ 和一个来自 $B$ 的元素 $b$，然后输出一个在 $C$ 中的元素 $c$。
   • 作者建议，我们也可以把这种更一般的情形看作是一种广义的“乘法”，记作 $a * b = c$。这里，我们是拿一个 $A$ 里的东西“乘以”一个 $B$ 里的东西，得到了一个 $C$ 里的东西。
3. 聚焦到群作用的情景：
   • 在理解了这种广义“乘法”之后，作者将我们的注意力引导到本节要讨论的特定情况。
   • 在这种特定情况中，扮演集合 $A$ 角色的是一个群 $G$。
   • 扮演集合 $B$ 和 $C$ 角色的是同一个集合 $X$。
   • 因此，我们要研究的“乘法”是一个映射 $*: G \times X \rightarrow X$。
   • 这个映射的意义是：我们拿一个群 $G$ 中的元素 $g$（一个“动作”），去“乘以”一个集合 $X$ 中的元素 $x$（一个“物件”），结果得到集合 $X$ 中的另一个元素（“物件”的新位置）。
   • 为了书写方便，我们将函数表示法 $*(g, x)$ 简写为中缀表示法 $g * x$ 或者更简洁的并列表示 $gx$。这和我们写普通乘法 $a \times b$ 为 $ab$ 是一样的道理。

这是本节的核心定义，它精确地描述了什么是群作用。一个群 $G$ 在一个集合 $X$ 上的作用（action），不仅仅是任意一个从 $G \times X$ 到 $X$ 的映射，还必须满足两条额外的、非常关键的公理。

1. 基本设定：
   • 我们有一个群 $G$，它有群运算（比如乘法）、单位元 $e$、以及每个元素都有逆元。
   • 我们有一个集合 $X$，它可能没有任何额外的结构，就是一个元素的聚集。
   • 一个作用是一个映射，记为 $gx$（$g \in G, x \in X$），结果仍在 $X$ 中。
2. 公理1：单位元公理 (Identity Axiom)
   • 内容：$ex = x$ 对所有 $x \in X$ 都成立。
   • 解释：$e$ 是群 $G$ 的单位元。这条公理说的是，用单位元去作用于集合 $X$ 中的任何元素 $x$，结果 $x$ 保持不变。
   • 意义：这符合我们的直觉。单位元在群中代表“什么都不做”的操作。比如，在旋转群中，旋转0度就应该让图形保持原样。这条公理保证了群中的“无操作”对应于集合上的“无变化”。
3. 公理2：相容性公理 (Compatibility Axiom)
   • 内容：$(g_1 g_2)x = g_1(g_2 x)$ 对所有 $x \in X$ 和所有 $g_1, g_2 \in G$ 都成立。
   • 解释：这条公理联系了群 $G$ 内部的运算（左侧的 $g_1 g_2$）和群在集合 $X$ 上的作用（右侧的嵌套作用）。
   • 左侧 $(g_1 g_2)x$ 的意思是：先在群 $G$ 内部计算出 $g_1$ 和 $g_2$ 的乘积，得到一个新的群元素 $g_3 = g_1 g_2$，然后用这个新的群元素 $g_3$ 去作用于 $x$。
   • 右侧 $g_1(g_2 x)$ 的意思是：先用 $g_2$ 作用于 $x$，得到 $X$ 中的一个新元素 $y = g_2 x$，然后再用 $g_1$ 作用于这个新元素 $y$。
   • 意义：这条公理说的是，“先组合动作再执行”和“按顺序先后执行动作”的效果是一样的。这保证了群的代数结构能够和谐地、无歧义地“传递”到它在集合上的作用效果上。它本质上是一种结合律。
4. $G$-集合：
   • 如果一个集合 $X$ 上定义了一个群 $G$ 的作用，满足上述所有条件，那么我们就称 $X$ 是一个 $G$-集合。这只是一个方便的说法，用来指代这种“群-作用-集合”的完整结构。

这个例子给出了第一类，也是最自然的一类群作用——置换群的作用。

1. 背景设定：
   • $X$ 是一个任意的集合。
   • $S_X$ 是集合 $X$ 的对称群，即 $X$ 上所有双射函数（即置换）构成的群。群的运算是函数复合。
   • $H$ 是 $S_X$ 的一个子群。这意味着 $H$ 本身也是一个由 $X$ 上的置换构成的群。
2. 定义作用：
   • 我们要把 $H$ 看作群 $G$，把 $X$ 看作集合 $X$。
   • 如何定义群元素 $\sigma \in H$ 对集合元素 $x \in X$ 的作用呢？
   • 最自然的方式就是利用 $\sigma$ 本身的含义：$\sigma$ 就是一个从 $X$ 到 $X$ 的函数。所以，我们定义作用 $\sigma x$ 就等于函数求值 $\sigma(x)$。
3. 验证群作用公理：
   • 公理1 (单位元)：
   • $H$ 是一个群，它的单位元 $e_H$ 就是 $S_X$ 的单位元，即恒等置换（或恒等函数）$\text{id}_X$。
   • 恒等函数的定义就是，对于任意 $x \in X$，$\text{id}_X(x) = x$。
   • 按照我们定义的作用，$e_H x = \text{id}_X(x) = x$。
   • 所以公理1成立。
   • 公理2 (相容性)：
   • 取任意两个置换 $\sigma_1, \sigma_2 \in H$。
   • 在群 $H$ 中，它们的乘积 $\sigma_1 \sigma_2$ 是通过函数复合定义的，即 $(\sigma_1 \sigma_2)(x) = \sigma_1(\sigma_2(x))$。
   • 现在我们来计算作用的等式两边：
   • 左边：$(\sigma_1 \sigma_2)x$。根据我们的作用定义，这等于置换 $(\sigma_1 \sigma_2)$ 在 $x$ 处的函数值，即 $(\sigma_1 \sigma_2)(x)$。
   • 右边：$\sigma_1(\sigma_2 x)$。根据我们的作用定义，括号里的 $\sigma_2 x$ 等于 $\sigma_2(x)$。所以整体是 $\sigma_1(\sigma_2(x))$。
   • 因为置换乘法（即函数复合）的定义就是 $(\sigma_1 \sigma_2)(x) = \sigma_1(\sigma_2(x))$，所以左边天然等于右边。
   • 所以公理2成立。
4. 结论：
   • 既然两条公理都满足，那么 $X$ 就是一个 $H$-集合。
   • 作者特别指出了一个常见特例：当 $X = \{1, 2, \dots, n\}$ 时，它的对称群就是我们熟悉的 $S_n$。根据刚才的证明，$S_n$（以及它的任何子群）都自然地作用在集合 $\{1, 2, \dots, n\}$ 上。

这段话是下一个重要定理（定理16.3）的预告和思想阐述，它揭示了抽象群作用与具体的置换群之间的深刻联系。

1. 核心思想预告：
   • 对于一个抽象的群 $G$ 作用在集合 $X$ 上（即 $X$ 是一个 $G$-集合），我们可以把每个群元素 $g \in G$ 看作一个对 $X$ 的“改造”操作。
   • 这个“改造”操作具体是什么呢？对于任意 $x \in X$，它把 $x$ 变成 $gx$。我们可以把这个操作定义为一个函数 $\sigma_g: X \rightarrow X$，其中 $\sigma_g(x) = gx$。
   • 定理的第一部分将证明：这个由 $g$ 诱导出的函数 $\sigma_g$ 不是一个普通的函数，而是一个置换（即双射）。也就是说，每个群元素都对应着一种对集合 $X$ 的重排。
2. 建立同态：
   • 既然每个 $g \in G$ 都对应一个 $X$ 上的置换 $\sigma_g \in S_X$，这就自然地给出了一个从群 $G$到对称群 $S_X$ 的映射 $\phi$。
   • 这个映射的定义是 $\phi(g) = \sigma_g$。
   • 定理的第二部分将证明：这个映射 $\phi$ 不是一个普通的映射，而是一个群同态。这意味着它保持了群的运算结构：$\phi(g_1 g_2) = \phi(g_1) \phi(g_2)$。
3. “本质上是”的含义：
   • 这个同态 $\phi: G \rightarrow S_X$ 的像 $\phi[G]$ 是 $S_X$ 的一个子群。我们记它为 $H$。
   • 现在我们有两个作用：
   • 原始的作用：抽象群 $G$ 作用在 $X$ 上，通过 $g \mapsto gx$。
   • 一个新的作用：置换群 $H = \phi[G]$ 作用在 $X$ 上，根据例16.2，通过 $\sigma \mapsto \sigma(x)$。
   • 定理告诉我们，这两个作用是“本质上一样”的。怎么个一样法？因为 $\phi(g)=\sigma_g$，所以原始的作用 $gx$ 可以被看作是 $\sigma_g(x)$，而 $\sigma_g$ 正是 $H$ 中的元素。抽象的作用 $gx$ 被翻译成了具体的置换作用 $\sigma_g(x)$。
   • 这就好比，抽象群 $G$ 是幕后老板，它通过一个“传话筒”同态 $\phi$ 给台前的经理们（置换群 $H$）下达指令，经理们再去具体地管理员工（集合 $X$）。
4. 两种视角：
   • 视角一：研究集合 $X$。如果我们只关心集合 $X$ 本身可以被如何“重排”，那么我们只需要研究它的对称群 $S_X$ 以及 $S_X$ 的各个子群是如何作用在 $X$ 上的就足够了。因为任何来自外部抽象群 $G$ 的作用，最终都会体现为 $S_X$ 的某个子群的作用。
   • 视角二：研究群 $G$。但有时候，我们的目的反过来，是为了研究那个抽象的群 $G$。这时，让 $G$ 去作用在某个精心挑选的集合 $X$ 上，然后通过研究它所产生的置换表示（即同态 $\phi$ 和它的像 $\phi[G]$），我们可以反过来获得关于 $G$ 的结构信息。这被称为群的置换表示理论，是研究有限群的强大工具（这正是凯莱定理的精髓）。
5. 定义的必要性：
   • 正是因为有第二种视角（为了研究群 $G$），我们才需要定义16.1中那个更一般的、从抽象群 $G$ 出发的群作用概念，而不是一开始就局限在置换群的作用上。

这个定理是本节的理论核心之一，它将抽象的群作用与具体的置换群联系起来。证明分为两大部分。

第一部分：证明 $\sigma_g$ 是一个置换

一个函数是置换，意味着它既是单射（one-to-one）又是满射（onto）。

1. 证明 $\sigma_g$ 是单射：
   • 目标：证明如果 $\sigma_g(x_1) = \sigma_g(x_2)$，那么必然有 $x_1 = x_2$。
   • 步骤:
   • 假设 $\sigma_g(x_1) = \sigma_g(x_2)$。
   • 根据 $\sigma_g$ 的定义，这意味着 $gx_1 = gx_2$。
   • 因为 $g$ 是群 $G$ 的元素，所以它有逆元 $g^{-1} \in G$。
   • 用 $g^{-1}$ 从左边作用于等式两边：$g^{-1}(gx_1) = g^{-1}(gx_2)$。
   • 现在使用群作用的公理2（相容性）：左边变成 $(g^{-1}g)x_1$，右边变成 $(g^{-1}g)x_2$。
   • 在群 $G$ 中，$g^{-1}g = e$（单位元）。所以等式变为 $ex_1 = ex_2$。
   • 再使用群作用的公理1（单位元）：左边是 $x_1$，右边是 $x_2$。
   • 所以我们得到了 $x_1 = x_2$。
   • 结论：$\sigma_g$ 是单射。
2. 证明 $\sigma_g$ 是满射：
   • 目标：对于到达域 $X$ 中的任意一个元素 $y$，我们能否在定义域 $X$ 中找到一个元素 $x$，使得 $\sigma_g(x) = y$？
   • 步骤:
   • 取任意一个 $y \in X$。
   • 我们需要找到一个 $x$，使得 $gx=y$。
   • 如何找到这个 $x$？再次利用逆元 $g^{-1}$。
   • 考虑 $x = g^{-1}y$。这个 $x$ 是否在 $X$ 中？是的，因为 $g^{-1} \in G, y \in X$，群作用是封闭在 $X$ 上的，所以 $g^{-1}y$ 仍然是 $X$ 的一个元素。
   • 我们将这个候选的 $x$ 代入 $\sigma_g$ 中：$\sigma_g(x) = \sigma_g(g^{-1}y) = g(g^{-1}y)$。
   • 再次使用公理2：$g(g^{-1}y) = (gg^{-1})y$。
   • 在群 $G$ 中，$gg^{-1} = e$。所以结果是 $ey$。
   • 再次使用公理1：$ey = y$。
   • 结论：我们找到了这样一个 $x$（就是 $g^{-1}y$），使得 $\sigma_g(x)=y$。所以 $\sigma_g$ 是满射。
   • 书中给的证明思路更巧妙：它直接构造出 $x$ 的原像，说明 $\sigma_g(g^{-1}x) = x$ (对任意x)，这直接证明了 $\sigma_g$ 是满射。这实际上是找到了 $\sigma_g$ 的逆函数，即 $(\sigma_g)^{-1} = \sigma_{g^{-1}}$
3. 总结：因为 $\sigma_g$ 既是单射又是满射，所以它是一个从 $X$ 到 $X$ 的双射，即 $X$ 上的一个置换。因此 $\sigma_g \in S_X$。

第二部分：证明 $\phi: G \rightarrow S_X$ 是一个群同态

1. 目标：证明对于任意 $g_1, g_2 \in G$，都有 $\phi(g_1 g_2) = \phi(g_1) \phi(g_2)$。
2. 理解等式：
   • 等式左边 $\phi(g_1 g_2)$ 是群 $G$ 中乘积 $g_1 g_2$ 对应的那个置换，即 $\sigma_{g_1 g_2}$。
   • 等式右边 $\phi(g_1) \phi(g_2)$ 是两个置换 $\sigma_{g_1}$ 和 $\sigma_{g_2}$ 在群 $S_X$ 中的乘积（即函数复合 $\sigma_{g_1} \circ \sigma_{g_2}$）。
   • 我们要证明 $\sigma_{g_1 g_2}$ 和 $\sigma_{g_1} \circ \sigma_{g_2}$ 是同一个函数。
3. 证明两个函数相等：要证明两个函数相等，我们必须证明它们对于定义域中的每一个元素，给出的函数值都相同。
   • 取任意一个 $x \in X$。
   • 计算左边作用在 $x$ 上的结果：$\phi(g_1 g_2)(x) = \sigma_{g_1 g_2}(x) = (g_1 g_2)x$。（根据 $\sigma$ 和 $\phi$ 的定义）
   • 计算右边作用在 $x$ 上的结果：$(\phi(g_1) \phi(g_2))(x) = (\sigma_{g_1} \circ \sigma_{g_2})(x)$。（根据 $S_X$ 中的乘法是函数复合）
   • 根据函数复合的定义，这等于 $\sigma_{g_1}(\sigma_{g_2}(x))$。
   • 根据 $\sigma_{g_2}$ 的定义，括号里是 $g_2 x$。所以表达式变为 $\sigma_{g_1}(g_2 x)$。
   • 根据 $\sigma_{g_1}$ 的定义，这等于 $g_1(g_2 x)$。
   • 现在比较两边的最终结果：左边是 $(g_1 g_2)x$，右边是 $g_1(g_2 x)$。
   • 根据群作用的公理2，这两者是相等的！
   • 结论：因为对于任意 $x \in X$，$\phi(g_1 g_2)(x) = (\phi(g_1) \phi(g_2))(x)$ 都成立，所以 $\phi(g_1 g_2)$ 和 $\phi(g_1) \phi(g_2)$ 是同一个置换。因此 $\phi$ 是一个群同态。

定理的最后一部分：

• “具有 $\phi(g)(x)=gx$ 性质” 是对这个同态所做事情的再次强调，$\phi(g)$ 就是 $\sigma_g$，而 $\sigma_g(x)$ 被定义为 $gx$。

这段话是定理16.3的直接推论，并引出了三个非常重要的概念：忠诚作用，商群作用，和传递作用。

1. 与定理13.15的联系：
   • 定理16.3告诉我们，存在一个群同态 $\phi: G \rightarrow S_X$。
   • 定理13.15是第一同构定理，它指出对于任何群同态 $\phi: G \rightarrow H$，其核 $\ker(\phi)$ 是 $G$ 的一个正规子群，并且商群 $G/\ker(\phi)$ 同构于像 $\phi[G]$。
   • 在这个情境下，$\ker(\phi)$ 是什么？
   • $\ker(\phi) = \{g \in G \mid \phi(g) = e_{S_X}\}$。
   • $e_{S_X}$ 是对称群 $S_X$ 的单位元，即恒等置换 $\text{id}_X$。
   • $\phi(g) = \sigma_g$，所以 $\sigma_g = \text{id}_X$。
   • $\sigma_g = \text{id}_X$ 意味着对于所有的 $x \in X$，$\sigma_g(x) = x$。
   • 而 $\sigma_g(x) = gx$。所以，$\ker(\phi) = \{g \in G \mid gx = x \text{ for all } x \in X\}$。
   • 这个核 $N = \ker(\phi)$ 正是“使 $X$ 的每个元素保持不动的 $G$ 的子集”。根据第一同构定理，这个核 $N$ 是 $G$ 的一个正规子群。
2. 商群作用 ($G/N$-集合)：
   • 既然 $N$ 是一个正规子群，我们可以构造商群 $G/N$。其元素是形如 $gN$ 的陪集。
   • 我们可以在 $X$ 上定义一个 $G/N$ 的作用。如何定义呢？
   • 对于一个陪集 $gN \in G/N$ 和一个元素 $x \in X$，定义 $(gN)x = gx$。
   • 这个定义是否良定义 (well-defined)？也就是说，如果我用陪集的另一个代表元 $g'$ 来计算，结果是否一样？
   • 假设 $g'N = gN$，这意味着 $g' = gn$ 对于某个 $n \in N$。
   • 那么 $(g'N)x$ 应该等于 $g'x = (gn)x$。
   • 根据群作用公理2，$(gn)x = g(nx)$。
   • 因为 $n \in N = \ker(\phi)$，所以 $n$ 的作用是让所有 $x$ 保持不变，即 $nx = x$。
   • 所以 $g(nx) = g(x) = gx$。
   • 因此，$g'x = gx$，定义是良定义的。
   • 所以 $X$ 可以被看作是一个 $G/N$-集合。直观上，所有在 $N$ 里的“无效”操作都被我们“除掉”了，剩下的商群 $G/N$ 的每个元素都代表一种对 $X$ 的独特的、非平凡的整体作用。
3. 忠诚作用 (Faithful Action)：
   • 这是一个特殊情况，当 $N = \{e\}$ 时。
   • $N = \{e\}$ 意味着 $\ker(\phi) = \{e\}$。
   • 这说明，唯一能让 $X$ 中所有元素都保持不动的群元素就是单位元 $e$。
   • 换句话说，任何非单位元的 $g \in G$ 都会“移动” $X$ 中至少一个元素。
   • 在这种情况下，同态 $\phi: G \rightarrow S_X$ 是单射（核为平凡子群）。这意味着 $G$ 同构于 $S_X$ 的一个子群 $\phi[G]$。我们可以把 $G$ 就看作是那个置换群。
   • 此时，我们说 $G$ 忠诚地作用于 $X$。它“忠实地”将自己的结构反映在了对 $X$ 的置换上，没有任何信息损失。
4. 传递作用 (Transitive Action)：
   • 这是一个描述作用效果的词。
   • 一个作用是传递的，如果对于集合 $X$ 中的任意两个元素 $x_1, x_2$，你总能找到一个群元素 $g \in G$，通过作用把 $x_1$ “送”到 $x_2$ 那里去，即 $gx_1 = x_2$。
   • 直观上，这意味着从 $X$ 中任何一个点出发，你可以通过 $G$ 的作用到达 $X$ 中的任何其他点。整个集合 $X$ 是一个连通的整体，不能被作用分解成几个互不相干的部分。这个“连通的整体”就是我们后面要学的“轨道”（Orbit）。传递作用意味着整个集合 $X$ 只有一个轨道。
   • 作者还补充了一句：$G$ 在 $X$ 上是传递的等价于像子群 $\phi[G]$ 在 $X$ 上是传递的。这是显然的，因为 $gx_1 = x_2$ 等价于 $\sigma_g(x_1) = x_2$，而 $\sigma_g$ 就是 $\phi[G]$ 中的元素。能否把任意 $x_1$ 送到 $x_2$ 完全取决于 $\phi[G]$ 中是否有合适的置换。

引出下面一系列具体的例子，帮助读者巩固对群作用定义的理解。

这个例子介绍了一种非常重要的群作用，即群自身作用于自身。

1. 群G作用于自身G：
   • 设定: 群是 $G$，集合也是 $G$。
   • 定义作用: 对于施动者 $g_1 \in G$ 和受动者 $g_2 \in G$，它们的作用结果就是它们在群 $G$ 中的普通乘积 $g_1 g_2$。这个作用被称为左正则作用 (left regular action)。
   • 验证公理1 (单位元):
   • $G$ 的单位元是 $e$。
   • $e$ 作用于任意 $g \in G$ 的结果是 $eg$。
   • 根据群的单位元公理，$eg = g$。
   • 所以公理1成立。
   • 验证公理2 (相容性):
   • 取任意 $g_1, g_2, g_3 \in G$。我们需要验证 $(g_1 g_2)g_3 = g_1(g_2 g_3)$。
   • 注意！这里的括号里的所有乘法都是群 $G$ 内部的二元运算。
   • 左边 $(g_1 g_2)g_3$ 是群元素 $g_1 g_2$ 作用于群元素 $g_3$，根据定义就是群乘法 $(g_1 g_2)g_3$。
   • 右边 $g_1(g_2 g_3)$ 是 $g_1$ 作用于 $g_2 g_3$ 这个元素，而 $g_2 g_3$ 是 $g_2$ 作用于 $g_3$ 的结果，根据定义就是 $g_2 g_3$。所以右边是 $g_1$ 作用于 $(g_2 g_3)$，结果是 $g_1(g_2 g_3)$。
   • 群定义中的结合律公理正好告诉我们 $(g_1 g_2)g_3 = g_1(g_2 g_3)$。
   • 所以公理2成立。
   • 结论: 任何群 $G$ 都可以通过左乘法作用于其自身的元素集合上，构成一个 $G$-集合。
2. 子群H作用于群G：
   • 这是一个直接的推广。
   • 设定: 群是 $H$ (它是 $G$ 的一个子群)，集合是 $G$。
   • 定义作用: 对于施动者 $h \in H$ 和受动者 $g \in G$，作用结果是它们在群 $G$ 中的乘积 $hg$。
   • 验证: 验证过程和上面完全一样，因为 $H$ 中的元素也是 $G$ 的元素，单位元相同，结合律也适用于所有 $G$ 中的元素。因此这也构成一个合法的群作用，$G$ 是一个 $H$-集合。

这个例子介绍了另一种至关重要的群作用——共轭作用 (conjugation action)。

1. 设定:
   • 群: $H$，它是某个大群 $G$ 的一个子群。
   • 集合: 大群 $G$ 自身的元素集合。
   • (一个更常见的情况是 $H=G$，即群 $G$ 通过共轭作用于其自身。)
2. 定义作用:
   • 施动者 $h \in H$ 作用于受动者 $g \in G$ 的结果，定义为 $hgh^{-1}$。
   • 这个操作 $g \mapsto hgh^{-1}$ 被称为“用 $h$ 对 $g$ 进行共轭”。
3. 验证公理1 (单位元):
   • $H$ 的单位元是 $e$。
   • $e$ 作用于任意 $g \in G$ 的结果是 $ege^{-1}$。
   • 因为 $e^{-1}=e$，所以结果是 $ege = g$。
   • 所以公理1成立，这很“显而易见”。
4. 验证公理2 (相容性):
   • 我们需要验证 $(h_1 h_2)$ 作用于 $g$ 的结果，是否等于 $h_1$ 作用于 ($h_2$ 作用于 $g$) 的结果。
   • 左边: $(h_1 h_2)$ 作用于 $g$。根据定义，是 $(h_1 h_2) g (h_1 h_2)^{-1}$。
   • 右边: $h_1$ 作用于 ($h_2$ 作用于 $g$)。
   • 括号里，$h_2$ 作用于 $g$ 的结果是 $h_2 g h_2^{-1}$。这是一个新的 $G$ 中的元素。
   • 现在让 $h_1$ 作用于这个新元素 $(h_2 g h_2^{-1})$。
   • 根据定义，结果是 $h_1 (h_2 g h_2^{-1}) h_1^{-1}$。
   • 比较: 我们需要证明 $(h_1 h_2) g (h_1 h_2)^{-1} = h_1 (h_2 g h_2^{-1}) h_1^{-1}$。
   • 这正是书中给出的推导：
   • $(h_1 h_2) g (h_1 h_2)^{-1}$
   • 利用群中逆元的性质 $(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}$，我们得到 $(h_1 h_2) g (h_2^{-1}h_1^{-1})$。
   • 由于群的结合律，这等于 $h_1 h_2 g h_2^{-1} h_1^{-1}$。
   • 再次利用结合律，我们可以重新加括号为 $h_1 (h_2 g h_2^{-1}) h_1^{-1}$。
   • 这和我们计算出的右边完全一样。
   • 所以公理2成立。
5. 关于记号的提醒:
   • 作者特别强调，对于共轭作用，我们绝不能使用 $hg$ 这样的简写，因为它已经代表了群的普通乘法（即例16.4的左正则作用）。
   • 共轭作用必须明确写出 $hgh^{-1}$ 的形式，以避免和左乘作用混淆。

这个例子联系了群论和线性代数，指出线性代数中的标量乘法也是一种群作用。

1. 背景回顾 (线性代数):
   • 一个向量空间 (比如 $\mathbb{R}^n$) 有两种基本运算：向量加法和标量乘法。
   • 标量乘法是将一个标量（实数或复数）和一个向量结合，得到一个新的向量。
   • 标量乘法需要满足几条公理，其中两条是：
   • $(rs)\mathbf{v} = r(s\mathbf{v})$ (乘法结合律)
   • $1\mathbf{v} = \mathbf{v}$ (乘法单位元)
   • 这里 $r, s$ 是标量，$\mathbf{v}$ 是向量，1是标量中的乘法单位元。
2. 建立群作用模型:
   • 群 G: 是什么？我们注意到公理中的标量 $r,s$ 是在做乘法。所有非零实数（或复数）在普通乘法下构成一个群。这个群记作 $\mathbb{R}^*$ (或 $\mathbb{C}^*$)。
   • 集合 X: 是什么？是向量空间中所有向量的集合。
   • 作用: 如何定义 $g \in G$ 作用于 $x \in X$？
   • 这里的 $g$ 是一个非零标量 $r$，$x$ 是一个向量 $\mathbf{v}$。
   • 最自然的定义就是 $r \cdot \mathbf{v} = r\mathbf{v}$ (线性代数中的标量乘法)。
   • 这个作用是一个映射 $*: \mathbb{R}^* \times V \rightarrow V$ (其中 $V$ 是向量空间)。
3. 验证群作用公理:
   • 公理1 (单位元):
   • 群 $\mathbb{R}^*$ 的单位元是 $e=1$。
   • 我们需要验证 $1 \cdot \mathbf{v} = \mathbf{v}$。
   • 这正是向量空间公理中明确指出的 $1\mathbf{v} = \mathbf{v}$。
   • 公理1成立。
   • 公理2 (相容性):
   • 群 $\mathbb{R}^*$ 中的运算是标量乘法。
   • 我们需要验证 $(rs) \cdot \mathbf{v} = r \cdot (s \cdot \mathbf{v})$。
   • 根据作用定义，左边是 $(rs)\mathbf{v}$。
   • 右边括号里是 $s\mathbf{v}$，然后 $r$ 作用于它，得到 $r(s\mathbf{v})$。
   • 我们需要验证 $(rs)\mathbf{v} = r(s\mathbf{v})$。
   • 这正是向量空间公理中明确指出的另一条。
   • 公理2成立。
4. 结论:
   • 因此，任何一个向量空间 $V$，都可以看作是其对应标量域的乘法群（$\mathbb{R}^*$ 或 $\mathbb{C}^*$）作用下的一个 $G$-集合。

这个例子介绍了另一种极其重要的、更抽象的群作用：群作用在它自己的子群的陪集集合上。

1. 设定:
   • 群: $G$。
   • 子群: $H$ 是 $G$ 的一个子群。
   • 集合: 不是 $G$ 的元素，而是 $H$ 在 $G$ 中的所有左陪集构成的集合。我们记这个集合为 $L_H$。$L_H = \{xH \mid x \in G\}$。注意 $L_H$ 的元素是集合（陪集）。
2. 定义作用:
   • 施动者 $g_0 \in G$ 作用于受动者 $xH \in L_H$ (一个陪集) 的结果如何定义？
   • 定义为 $(g_0x)H$。也就是说，用 $g_0$ 左乘陪集的代表元 $x$，得到新的代表元 $g_0x$，然后取这个新代表元所在的陪集。
3. 验证良定义性 (Well-definedness):
   • 这是至关重要的一步，因为陪集可以有不同的代表元。如果我换一个代表元，作用的结果会不同吗？如果会，那这个定义就是无效的。
   • 假设: $yH = xH$。这意味着 $y$ 和 $x$ 是同一个左陪集的两个不同代表元。
   • 目标: 证明 $g$ 作用于 $yH$ 和 $g$ 作用于 $xH$ 的结果是同一个陪集。即，证明 $(gy)H = (gx)H$。
   • 证明:
   • $yH = xH$ 的充要条件是 $x^{-1}y \in H$。但用 $y=xh$ (对于某个 $h \in H$) 更直观。
   • 我们来计算 $g$ 作用于 $yH$ 的结果：$g(yH)$。根据定义，这是 $(gy)H$。
   • 将 $y=xh$ 代入：$(g(xh))H$。
   • 利用群的结合律：$((gx)h)H$。
   • 现在我们要用到陪集的一个基本性质：如果 $a \in K, b \in G$，那么 $(ba)K = bK$。这里，我们的 $h \in H$，所以 $((gx)h)H = (gx)H$。
   • 因此，我们证明了 $g(yH) = (gy)H = (gx)H = g(xH)$。
   • 结论: 作用的结果与陪集代表元的选择无关。作用是良定义的。
4. 验证群作用公理:
   • 公理1 (单位元):
   • $e$ 作用于 $xH$ 是 $(ex)H = xH$。成立。
   • 公理2 (相容性):
   • 设 $g_1, g_2 \in G$。我们要验证 $(g_1g_2)(xH) = g_1(g_2(xH))$。
   • 左边: $(g_1g_2)(xH)$ 根据定义是 $((g_1g_2)x)H$。
   • 右边:
   • 括号里，$g_2(xH)$ 是 $(g_2x)H$。这是一个新的陪集，它的代表元是 $g_2x$。
   • 现在让 $g_1$ 作用于这个新陪集 $(g_2x)H$。
   • 根据定义，结果是 $(g_1(g_2x))H$。
   • 比较: 我们需要验证 $((g_1g_2)x)H = (g_1(g_2x))H$。
   • 根据群的结合律，$(g_1g_2)x = g_1(g_2x)$。既然代表元相同，它们所在的陪集自然也相同。
   • 公理2成立。
5. 重要性预告:
   • 作者最后指出，这个看似抽象的例子其实具有根本性的重要意义。后续的练习会证明，任何一个传递的 G-集合都和某个 $L_H$ 同构（作为 G-集合）。而任何 G-集合 都可以分解成一堆传递的 G-集合（即轨道）的不交并。
   • 这意味着，所有的群作用，在最根本的层面上，都可以用这种在陪集上的作用来搭建和理解。$L_H$ 形式的 G-集合 是构成所有 G-集合 的“原子”或“基本构建块”。

这段话是第16节的开篇，起到了承上启下的作用。

1. 承上：作者首先回顾了读者在前面章节中可能已经接触过的“群作用”的直观例子。这有助于将抽象的概念与具体的、已经学过的知识联系起来。
   • 对称群：例如，一个等边三角形的对称群 $D_3$ 包含了旋转和翻转操作，这些操作作用在三角形的顶点集合 $\{1, 2, 3\}$ 上，会改变顶点的位置。这就是一个群（对称群）作用在一个集合（顶点集合）上的例子。
   • 旋转群：一个立方体的旋转群包含了所有能使立方体复位的旋转操作。这些旋转作用在立方体的顶点集合、棱集合或面集合上。
   • 一般线性群：$GL(n, \mathbb{R})$ 是所有 $n \times n$ 的可逆实矩阵组成的群。它可以作用在 $n$ 维向量空间 $\mathbb{R}^n$ 上，通过矩阵与向量的乘法，将一个向量变换成另一个向量。
2. 启下：接着，作者明确了本节的核心任务——将这些具体的例子进行抽象，给出一个普适的、严格的数学定义，即“群在集合上作用”的一般概念。这预示着本节内容将更具理论性和普遍性。
3. 展望：最后，作者提到了下一节的内容——计数方面的应用。这不仅激发了读者的学习兴趣（学习这个抽象概念有什么用？），也为知识的后续应用埋下伏笔。这个应用通常指的是伯恩赛德引理（Burnside's Lemma）和轨道-稳定子定理，它们是解决组合计数问题的强大工具。

这部分内容旨在拓宽我们对“乘法”的理解，为群作用的定义铺平道路。

1. 回顾二元运算：首先，作者回顾了二元运算的严格定义。一个集合 $S$ 上的二元运算 $*$ 是一个函数，这个函数的输入是 $S$ 中的一个有序对 $(s_1, s_2)$（来自笛卡尔积 $S \times S$），输出是 $S$ 中的一个元素 $s_1 * s_2$。我们熟悉的加法、乘法都是典型的二元运算。比如，整数集合 $\mathbb{Z}$ 上的加法，就是函数 $+: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$，它将数对 $(3, 5)$ 映射到 $8$。
2. 推广“乘法”概念：然后，作者将这个概念推广。二元运算是两个相同集合的元素“相乘”得到该集合的元素。现在我们放宽限制，允许三个集合 $A, B, C$ 参与，定义一个映射 $*: A \times B \rightarrow C$。这个映射接受一个来自 $A$ 的元素 $a$ 和一个来自 $B$ 的元素 $b$，然后输出一个来自 $C$ 的元素 $c$。尽管 $A, B, C$ 可能完全不同，我们仍然可以借用“乘法”的记号，把这个过程记为 $a * b = c$ 或 $ab = c$。
   • 这个推广是关键。它告诉我们，“乘法”不一定发生在同一个集合内部。
3. 聚焦群作用的场景：最后，作者明确了本节要研究的特定情况。在这种情况下：
   • 集合 $A$ 是一个群 $G$。
   • 集合 $B$ 是一个任意的集合 $X$。
   • 集合 $C$ 恰好也是集合 $X$。
   • 因此，我们要研究的“乘法”是一个映射 $*: G \times X \rightarrow X$。这个映射取一个群里的元素 $g$ 和一个集合里的元素 $x$，通过一种规则，得到集合 $X$ 里的另一个元素。
4. 简化记号：为了书写方便，我们将函数记法 $*(g, x)$ 简化为中缀记法 $g * x$ 或者更简洁的并列记法 $gx$。这和我们写群运算 $g_1 g_2$ 是一样的逻辑。

这是本节最核心的定义，它用两条公理严格规定了什么是“群作用”。

1. 基本设定：我们有一个群 $G$ 和一个集合 $X$。群作用是一个映射（我们记作乘法），这个映射把一个群元素 $g$ 和一个集合元素 $x$ 组合起来，得到一个新的集合元素 $gx$。
2. 公理1：单位元的作用 (Identity Axiom)
   • 原文：对于所有 $x \in X$，$ex=x$。
   • 解释：$e$ 是群 $G$ 的单位元。这条公理说，用单位元去“作用”于集合 $X$ 中的任何一个元素 $x$，这个元素 $x$ 都保持不变。
   • 直观理解：单位元代表“什么都不做”这个操作。所以用“什么都不做”去作用于任何一个物体，物体当然应该在原地不动。
3. 公理2：结合律 (Compatibility Axiom)
   • 原文：对于所有 $x \in X$ 以及所有 $g_{1}, g_{2} \in G$，$\left(g_{1} g_{2}\right)(x)=g_{1}\left(g_{2} x\right)$。
   • 解释：这条公理是群作用与群自身运算的“兼容性”法则。让我们拆解等式两边：
   • 左边 $\left(g_{1} g_{2}\right)(x)$：先在群 $G$ 内部计算出 $g_1$ 和 $g_2$ 的乘积，得到一个新的群元素 $g_3 = g_1 g_2$。然后，用这个新的群元素 $g_3$ 去作用于 $x$。
   • 右边 $g_{1}\left(g_{2} x\right)$：先让 $g_2$ 作用在 $x$ 上，得到一个新的集合元素 $x' = g_2 x$。然后，再让 $g_1$ 作用在这个新的集合元素 $x'$ 上。
   • 直观理解：这条公理说，“先连续执行两个动作，再把这个组合动作作用于物体”的效果，和“先执行第二个动作，再对结果执行第一个动作”的效果是一样的。这保证了群的运算结构能够“忠实地”传递到对集合的作用上。
4. $G$-集合：如果一个群 $G$ 和一个集合 $X$ 之间存在满足这两条公理的作用，我们就称 $X$ 是一个 $G$-集合。这个术语强调了 $X$ 是与群 $G$ 关联在一起的。

这个例子给出了第一类，也是最基本的一类群作用——置换群的作用。

1. 设定：
   • $X$ 是一个任意的集合。
   • $S_X$ 是 $X$ 上所有置换（即从 $X$到 $X$ 的一一映射）构成的群。群运算是函数复合。
   • $H$ 是 $S_X$ 的一个子群。也就是说，$H$ 本身也是一个由 $X$ 上的某些置换组成的群。
2. 定义作用：我们让群 $H$ 作用在集合 $X$ 上。如何作用呢？
   • 取一个群元素 $\sigma \in H$。$\sigma$ 本身就是一个从 $X$ 到 $X$ 的函数。
   • 取一个集合元素 $x \in X$。
   • 我们定义 $\sigma$ 作用在 $x$ 上的结果，就是把 $x$ 作为输入代入到函数 $\sigma$ 中，得到的输出值 $\sigma(x)$。即 $\sigma x = \sigma(x)$。
3. 验证公理：为什么这是一个合法的群作用？我们需要检查定义16.1中的两条公理。
   • 公理1 ($ex=x$)：群 $H$ 的单位元 $e$ 是什么？因为 $H$ 是 $S_X$ 的子群，所以它的单位元和 $S_X$ 的单位元一样，都是恒等置换（或称恒等函数） $\text{id}$，这个函数的定义就是对于所有 $x \in X$，$\text{id}(x) = x$。因此，根据我们定义的作用，$ex = e(x) = \text{id}(x) = x$。公理1成立。
   • 公理2 ($(g_1 g_2)x = g_1(g_2 x)$)：设 $\sigma_1, \sigma_2 \in H$。
   • 左边：$( \sigma_1 \sigma_2 )x$。在置换群 $S_X$（以及其子群 $H$）中，群的乘积 $\sigma_1 \sigma_2$ 被定义为函数的复合，即 $\sigma_1 \circ \sigma_2$。所以 $(\sigma_1 \sigma_2)x = (\sigma_1 \circ \sigma_2)(x) = \sigma_1(\sigma_2(x))$。
   • 右边：$\sigma_1(\sigma_2 x)$。根据我们的作用定义，$\sigma_2 x = \sigma_2(x)$。所以，$\sigma_1(\sigma_2 x) = \sigma_1(\sigma_2(x))$。
   • 左边 = 右边，公理2成立。这个公理的成立，本质上就是因为置换群的运算（复合）和作用的定义（求值）天然地结合在一起。
4. 结论：既然两条公理都满足，那么 $X$ 就是一个 $H$-集合。
5. 特例：一个非常重要的特例是，当 $X = \{1, 2, \dots, n\}$ 时，它的置换群就是我们熟悉的 $S_n$。根据上面的结论，$S_n$ 本身可以作用在 $\{1, 2, \dots, n\}$ 上，所以 $\{1, 2, \dots, n\}$ 是一个 $S_n$-集合。

这段话是下一个重要定理（定理16.3）的“预告片”和意义解读，它揭示了一个深刻的联系：任何抽象的群作用都可以被看作是一个置换群的作用。

1. 核心思想预告：
   • 对于一个任意的群 $G$ 和它作用的集合 $X$（即 $X$ 是一个 $G$-集合）。
   • 我们可以把群 $G$ 中的每一个元素 $g$ 都看成是对集合 $X$ 的一个操作。这个操作本身可以被视为一个从 $X$到 $X$ 的函数，记为 $\sigma_g$。这个函数的功能就是：输入 $x$，输出 $gx$。即 $\sigma_g(x) = gx$。
   • 定理将证明：这个 $\sigma_g$ 不仅仅是个函数，它还是一个置换（即一一映射）。
   • 定理还将证明：把 $g$ 对应到 $\sigma_g$ 的这个过程，即映射 $\phi: G \rightarrow S_X$ 定义为 $\phi(g) = \sigma_g$，是一个群同态。
2. 深刻的结论：
   • “同态 $\phi: G \rightarrow S_X$”意味着群 $G$ 的结构被“投影”到了置换群 $S_X$ 中。$G$ 中的运算 $g_1 g_2$ 对应着 $S_X$ 中的运算 $\sigma_{g_1} \circ \sigma_{g_2}$。
   • $G$ 在 $X$ 上的作用 ($gx$)，现在可以被看作是 $S_X$ 中的一个元素 $\sigma_g$ 在 $X$ 上的作用($\sigma_g(x)$)。
   • 这个同态的像 $\phi[G]$ 是 $S_X$ 的一个子群。所以，原来的群作用 $G \curvearrowright X$ 就可以被“翻译”成一个置换群（即 $H=\phi[G]$）在 $X$ 上的作用，这正是例16.2描述的情况。
   • 一言以蔽之：任何抽象的群作用，其内在本质都是一个置换群在起作用。这被称为群作用的置换表示。这一定理有时也与凯莱定理相提并论，因为凯莱定理是它的一个特例（当群作用于自身时）。
3. 两种视角：
   • 视角一：研究集合 X。如果我们关心的是集合 $X$ 本身（比如一个几何对象的对称性），那么我们只需要找到所有能作用在 $X$ 上的置换群（$S_X$ 的子群）就够了，没必要引入一个抽象的群 $G$。
   • 视角二：研究群 G。但有时候，我们的目的是为了研究一个抽象群 $G$ 的性质。让 $G$ 作用在一个精心挑选的集合 $X$ 上，然后通过研究这个作用产生的同态 $\phi: G \rightarrow S_X$，我们可以获得关于 $G$ 的重要信息（比如它的正规子群、子群结构等）。在这种情况下，从抽象的 $G$ 出发就非常必要。
4. 定义的必要性：正是因为有第二种视角的存在，我们才需要定义16.1中那个看似更“绕”的一般性群作用概念，而不是从一开始就只讨论置换群的作用。

这个定理是群作用理论的基石之一。它形式化了上一段的讨论。我们将它分为两个部分来理解和证明。

第一部分：$\sigma_g$ 是一个置换

• 主张：对于任意一个 $g \in G$，我们定义一个函数 $\sigma_g: X \rightarrow X$ 为 $\sigma_g(x) = gx$。这个函数是一个置换。
• 回顾：一个函数是置换，意味着它既是单射（一对一）又是满射（映上）。
• 证明 $\sigma_g$ 是单射：
• 我们需要证明：如果 $\sigma_g(x_1) = \sigma_g(x_2)$，那么必然有 $x_1=x_2$。
• 根据 $\sigma_g$ 的定义，$\sigma_g(x_1) = \sigma_g(x_2)$ 意味着 $gx_1 = gx_2$。
• 因为 $G$ 是一个群，所以 $g$ 有一个逆元 $g^{-1}$。我们在等式两边同时从左边“作用”上 $g^{-1}$：$g^{-1}(gx_1) = g^{-1}(gx_2)$。
• 根据群作用的公理2（结合律），这可以写成 $(g^{-1}g)x_1 = (g^{-1}g)x_2$。
• 在群 $G$ 中，$g^{-1}g = e$（单位元）。所以等式变为 $ex_1 = ex_2$。
• 根据群作用的公理1（单位元作用），$ex_1=x_1$ 且 $ex_2=x_2$。
• 因此，我们得到 $x_1 = x_2$。
• 这就证明了 $\sigma_g$ 是单射。
• 证明 $\sigma_g$ 是满射：
• 我们需要证明：对于集合 $X$ 中的任意一个元素 $y$，我们总能找到一个 $x \in X$，使得 $\sigma_g(x) = y$。
• 换句话说，我们要解方程 $gx=y$ 中的 $x$。
• 同样，利用 $g$ 的逆元 $g^{-1}$。我们让 $g^{-1}$ 作用在 $y$ 上，得到一个集合中的元素，令它为 $x_0 = g^{-1}y$。
• 现在我们把这个 $x_0$ 代入 $\sigma_g$ 中，看看结果是不是 $y$：
• $\sigma_g(x_0) = g x_0 = g(g^{-1}y)$。
• 根据公理2，这等于 $(gg^{-1})y$。
• 因为 $gg^{-1}=e$，所以结果是 $ey$。
• 根据公理1， $ey=y$。
• 所以，我们确实找到了一个 $x_0 = g^{-1}y$，使得 $\sigma_g(x_0) = y$。
• 这就证明了 $\sigma_g$ 是满射。
• 结论：因为 $\sigma_g$ 既是单射又是满射，所以它是一个置换，即 $\sigma_g \in S_X$。

第二部分：$\phi$ 是一个同态

• 主张：我们定义一个映射 $\phi: G \rightarrow S_X$ 为 $\phi(g) = \sigma_g$。这个映射是一个群同态。
• 回顾：一个映射是群同态，意味着它保持群的运算结构，即 $\phi(g_1 g_2) = \phi(g_1) \phi(g_2)$。
• 证明：
• 设 $g_1, g_2 \in G$。我们要比较 $\phi(g_1 g_2)$ 和 $\phi(g_1) \phi(g_2)$。这两个都是 $S_X$ 中的置换（函数）。要证明两个函数相等，我们必须证明它们对定义域中的任何输入都给出相同的输出。
• 取任意一个 $x \in X$。
• 计算左边：$\phi(g_1 g_2)$ 作用在 $x$ 上。
• 根据 $\phi$ 的定义，$\phi(g_1 g_2) = \sigma_{g_1 g_2}$。
• 根据 $\sigma$ 的定义，$\sigma_{g_1 g_2}(x) = (g_1 g_2)x$。
• 计算右边：$\phi(g_1)\phi(g_2)$ 作用在 $x$ 上。
• $\phi(g_1) = \sigma_{g_1}$，$\phi(g_2) = \sigma_{g_2}$。
• 在置换群 $S_X$ 中，乘法 $\phi(g_1)\phi(g_2)$ 就是函数复合 $\sigma_{g_1} \circ \sigma_{g_2}$。
• 所以，$(\phi(g_1)\phi(g_2))(x) = (\sigma_{g_1} \circ \sigma_{g_2})(x) = \sigma_{g_1}(\sigma_{g_2}(x))$。
• 根据 $\sigma$ 的定义，$\sigma_{g_2}(x) = g_2 x$。
• 所以，上式变为 $\sigma_{g_1}(g_2 x)$。
• 再次根据 $\sigma$ 的定义，这等于 $g_1(g_2 x)$。
• 比较左右：我们现在需要比较 $(g_1 g_2)x$ 和 $g_1(g_2 x)$。
• 根据群作用的公理2，$(g_1 g_2)x = g_1(g_2 x)$ 是成立的！
• 因此，对于任意 $x \in X$，都有 $\phi(g_1 g_2)(x) = (\phi(g_1)\phi(g_2))(x)$。
• 这证明了函数 $\phi(g_1 g_2)$ 和 $\phi(g_1)\phi(g_2)$ 是相等的。
• 所以，$\phi$ 是一个群同态。
• 最后性质：$\phi(g)(x)=gx$ 这个性质是直接由定义得出的：$\phi(g)(x) = \sigma_g(x) = gx$。

这部分是定理16.3的严格书面证明，它把我们上一段的讨论思路用数学语言写下来。

第一部分：证明 $\sigma_g$ 是置换

1. 证明单射性 (Injective / One-to-one)
   • 目标：证明若输出相等，则输入必相等。
   • 步骤：
2. 假设 $\sigma_g(x_1) = \sigma_g(x_2)$。
3. 根据 $\sigma_g$ 的定义，这等价于 $gx_1 = gx_2$。
4. 用 $g$ 的逆元 $g^{-1}$ 从左边作用于等式两边：$g^{-1}(gx_1) = g^{-1}(gx_2)$。
5. 应用群作用的公理2 (结合律)：$(g^{-1}g)x_1 = (g^{-1}g)x_2$。
6. 群的性质，$g^{-1}g=e$：$ex_1 = ex_2$。
7. 应用群作用的公理1 (单位元)：$x_1 = x_2$。
8. 证明完毕。
9. 证明满射性 (Surjective / Onto)
   • 目标：证明对于任何一个目标 $y \in X$，都存在一个源头 $x \in X$ 使得 $\sigma_g(x) = y$。
   • 步骤：
10. 作者在这里用了一种更巧妙的写法，他没有先说要找哪个 $x$，而是直接展示了一个 $x$ 确实有效。这个 $x$ 就是 $g^{-1}y$ (尽管原文写的是 $g^{-1}x$，这似乎是笔误，应该是对于任意 $y \in X$，考虑 $\sigma_g(g^{-1}y)$。我们按照教科书的逻辑来理解，他想表达的是对于任意一个元素，比如就叫它 $x$，总能找到一个元素（这里是 $g^{-1}x$）被 $\sigma_g$ 映射到它。这等价于证明满射性）。
11. 让我们取一个任意的 $y \in X$。我们要找一个 $x_0$ 使得 $\sigma_g(x_0)=y$。
12. 我们猜这个 $x_0$ 是 $g^{-1}y$。
13. 代入验证：$\sigma_g(g^{-1}y) = g(g^{-1}y)$。
14. 应用公理2：$g(g^{-1}y) = (gg^{-1})y$。
15. 群的性质，$gg^{-1}=e$：$(gg^{-1})y = ey$。
16. 应用公理1：$ey = y$。
17. 所以我们成功找到了 $x_0 = g^{-1}y$ 能映射到 $y$。
18. 证明完毕。（原文的表述 $\sigma_{g}\left(g^{-1} x\right)=...=x$ 是为了说明 $X$ 中的任意元素 $x$ 都在 $\sigma_g$ 的值域内，这同样证明了满射。）
19. 结论：$\sigma_g$ 既是单射又是满射，故为置换。

第二部分：证明 $\phi$ 是同态

1. 目标：证明 $\phi(g_1 g_2) = \phi(g_1) \phi(g_2)$。
2. 策略：由于等式两边都是函数（置换），我们只需证明它们作用在任意 $x \in X$ 上都得到相同的结果。
3. 推导链：下面的长等式链是证明的核心。
   • $\phi(g_1 g_2)(x)$ (从左边函数的求值开始)
   • $= \sigma_{g_1 g_2}(x)$ (根据 $\phi$ 的定义)
   • $= (g_1 g_2)x$ (根据 $\sigma$ 的定义)
   • $= g_1(g_2 x)$ (关键步骤：应用群作用公理2)
   • $= g_1 \sigma_{g_2}(x)$ (根据 $\sigma$ 的定义，反向使用)
   • $= \sigma_{g_1}(\sigma_{g_2}(x))$ (再次根据 $\sigma$ 的定义，反向使用)
   • $= (\sigma_{g_1} \circ \sigma_{g_2})(x)$ (根据函数复合的定义)
   • $= (\sigma_{g_1} \sigma_{g_2})(x)$ (在置换群中，乘法就是函数复合)
   • $= (\phi(g_1) \phi(g_2))(x)$ (根据 $\phi$ 的定义，反向使用)
4. 结论：因为对于任意 $x$，起始和结尾的函数作用结果都一样，所以这两个函数本身是相等的，即 $\phi(g_1 g_2) = \phi(g_1) \phi(g_2)$。故 $\phi$ 是同态。
5. 附加性质：$\phi(g)(x)=gx$ 这一条在证明过程中已经反复使用，它直接来自 $\phi$ 和 $\sigma_g$ 的定义。

这段话在定理16.3的基础上，引入了几个非常重要的概念：作用的核、忠实作用和传递作用。

1. 作用的核 (Kernel of the Action)
   • 定理16.3告诉我们有一个同态 $\phi: G \rightarrow S_X$。
   • 对于任何群同态，我们都可以讨论它的核（Kernel）。$\ker(\phi)$ 定义为 $G$ 中所有被映射到 $S_X$ 单位元的元素。
   • $S_X$ 的单位元是恒等置换 $\text{id}_X$，即那个让所有 $x \in X$ 都保持不变的置换。
   • 所以，$\ker(\phi) = \{ g \in G \mid \phi(g) = \text{id}_X \}$。
   • $\phi(g) = \text{id}_X$ 意味着 $\sigma_g = \text{id}_X$，也就是说对于所有的 $x \in X$，都有 $\sigma_g(x) = x$。
   • 根据 $\sigma_g$ 的定义，这等价于对于所有的 $x \in X$，都有 $gx=x$。
   • 因此，这个作用的核就是 $G$ 中那些让 $X$ 中 每一个 元素都保持不动的元素构成的子集。我们把它记作 $N$。
2. 核是正规子群
   • 作者引用了定理13.15（第一同构定理的前置内容），任何同态的核都是定义域群的一个正规子群。
   • 所以，我们得到的这个子集 $N = \{ g \in G \mid \forall x \in X, gx=x \}$ 不仅是子群，还是 $G$ 的一个正规子群。
3. 商群的作用
   • 既然 $N$ 是正规子群，我们可以构造商群 $G/N$。
   • $G/N$ 的元素是形如 $gN$ 的陪集。
   • 我们可以定义一个 $G/N$ 在 $X$ 上的作用：$(gN)x = gx$。
   • 这个定义是“良定义的”吗？也就是说，如果我换一个陪集的代表元，结果会不会变？如果 $g_1 N = g_2 N$，那么 $g_1^{-1}g_2 \in N$。根据 $N$ 的定义，$(g_1^{-1}g_2)$ 作用在任何 $x$ 上都等于 $x$。所以 $(g_1^{-1}g_2)x = x \implies g_2 x = g_1 x$。定义是良定义的。
   • 这个新的作用 $(G/N) \curvearrowright X$ 是忠实的（见下文）。本质上，我们是把所有“什么都不干”的元素都“压缩”到单位元里了。
4. 忠实作用 (Faithful Action)
   • 定义：如果作用的核 $N$ 只包含单位元 $e$，即 $N=\{e\}$，我们就说这个作用是忠实的。
   • 等价描述：当作用是忠实的，意味着如果 $g \neq e$，那么 $g$ 至少会移动 $X$ 中的一个元素。换句话说，不同的群元素在 $X$ 上有不同的作用效果（除了可能存在 $g_1 x = g_2 x$ 对于某个特定的 $x$ 成立，但不会对所有的 $x$ 都成立）。
   • 从同态的角度看，$\ker(\phi)=\{e\}$ 意味着 $\phi$ 是单射（一一映射）。此时，$G$ 同构于它的置换表示 $\phi[G]$。
5. 传递作用 (Transitive Action)
   • 定义：如果对于 $X$ 中任意两个元素 $x_1, x_2$，我们总能找到一个群元素 $g \in G$ 使得 $gx_1 = x_2$。
   • 直观理解：$G$ 的作用足够强大，可以把 $X$ 中的任何一个元素“搬到”任何另一个元素的位置上。整个集合 $X$ 就像是一个整体，没有被分割成互不相干的小块。从任何一点出发，都可以通过群作用到达任何其他点。
   • 我们之后会学到，一个群作用可以被分解成若干个“轨道”，而一个传递作用就是只有一个“轨道”的作用。
   • 与置换群的联系：$G$ 在 $X$ 上是传递的，等价于它的置换表示 $\phi[G]$ (这是 $S_X$ 的一个子群) 在 $X$ 上是传递的。这是因为 $gx_1 = x_2$ 直接翻译过来就是 $\sigma_g(x_1) = x_2$，其中 $\sigma_g \in \phi[G]$。

这个例子展示了群可以作用于其自身，这是群论中一个非常深刻和有用的思想，也是凯莱定理的基础。

1. G 作用于 G (左乘)
   • 设定: 群是 $G$，集合也是 $G$。
   • 作用定义: $g_1 \in G$ 作用在 $g_2 \in G$ 上，结果就是它们在群 $G$ 内部的乘积 $g_1 g_2$。
   • 验证公理:
   • 公理1 (单位元): $e$ 作用在 $g_2$ 上，结果是 $e g_2$。根据群的单位元公理，$e g_2 = g_2$。所以 $e g_2 = g_2$ 成立。
   • 公理2 (结合律): 我们要验证 $(g_1 g_2)g_3 = g_1(g_2 g_3)$。这正是群定义中的结合律公理本身！所以这个等式天然成立。
   • 结论: 任何群 $G$ 都可以通过左乘法作用于自身，因此 $G$ 是一个 $G$-集合。
2. H 作用于 G (左乘)
   • 设定: $H$ 是 $G$ 的一个子群。我们让群 $H$ 作用在集合 $G$ 上。
   • 作用定义: $h \in H$ 作用在 $g \in G$ 上，结果是在群 $G$ 内部的乘积 $hg$。
   • 验证公理:
   • 公理1: $H$ 的单位元就是 $G$ 的单位元 $e$。$e$ 作用于 $g$ 上是 $eg=g$。成立。
   • 公理2: 对于 $h_1, h_2 \in H$ 和 $g \in G$，我们要验证 $(h_1 h_2)g = h_1(h_2 g)$。这依然是群 $G$ 内部的结合律，由于 $H$ 的元素和 $g$ 都是 $G$ 的元素，所以当然成立。
   • 结论: 如果 $H \le G$ (H是G的子群)，那么 $G$ 也是一个 $H$-集合。

这个例子介绍了另一种至关重要的群作用——共轭作用。

1. 设定:
   • $H$ 是群 $G$ 的一个子群。
   • 作用群是 $H$。
   • 被作用的集合是整个群 $G$。
2. 作用定义:
   • $h \in H$ 作用在 $g \in G$ 上的结果，被定义为 $hgh^{-1}$。
   • 这个操作 $g \mapsto hgh^{-1}$ 称为 $g$ 被 $h$ 共轭。
3. 验证公理:
   • 公理1 (单位元): $H$ 的单位元是 $e$。$e$ 作用在 $g$ 上是 $ege^{-1}$。因为 $e^{-1}=e$ 且 $eg=g, ge=g$，所以 $ege^{-1} = g$。公理1成立。
   • 公理2 (结合律/兼容性): 我们需要验证 $(h_1 h_2)$ 作用于 $g$ 的结果，是否等于 $h_1$ 作用于 ($h_2$ 作用于 $g$) 的结果。
   • 左边: $(h_1 h_2)$ 作用于 $g$ 是 $(h_1 h_2) g (h_1 h_2)^{-1}$。
   • 右边: $h_2$ 作用于 $g$ 是 $h_2 g h_2^{-1}$。我们把这个结果作为一个整体，让 $h_1$ 作用于它。结果是 $h_1 (h_2 g h_2^{-1}) h_1^{-1}$。
   • 比较: 我们需要看 $(h_1 h_2) g (h_1 h_2)^{-1}$ 是否等于 $h_1 (h_2 g h_2^{-1}) h_1^{-1}$。
   • 我们知道在群中，$(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}$。所以 $(h_1 h_2)^{-1} = h_2^{-1}h_1^{-1}$。
   • 因此，左边等于 $h_1 h_2 g h_2^{-1} h_1^{-1}$。
   • 右边 $h_1 (h_2 g h_2^{-1}) h_1^{-1}$ 去掉括号也是 $h_1 h_2 g h_2^{-1} h_1^{-1}$。
   • 两者相等。公理2成立。
4. 结论: $G$ 是一个在共轭作用下的 $H$-集合。
5. 重要特例: 当 $H=G$ 时，我们说 $G$ 通过共轭作用于自身。
6. 记号说明:
   • 作者特意强调，这种作用不能简写为 $hg$，因为 $hg$ 通常指群内的普通乘法。
   • $hgh^{-1}$ 这个形式非常具有识别性，我们总是完整地写出它来表示共轭作用。

这个例子将群作用的概念与线性代数中的标量乘法联系起来。

1. 设定:
   • 集合 $X$ 是一个向量空间 $V$ (例如 $\mathbb{R}^n$) 中的所有向量。
   • 群 $G$ 是该向量空间对应的标量域中所有非零元素构成的乘法群。
   • 如果向量空间是实向量空间，那么群就是 $(\mathbb{R}^*, \times)$，即所有非零实数构成的乘法群。
   • 如果向量空间是复向量空间，那么群就是 $(\mathbb{C}^*, \times)$，即所有非零复数构成的乘法群。
2. 作用定义:
   • 群元素（标量）$r$ 作用在集合元素（向量）$\mathbf{v}$ 上，其结果就是线性代数中定义的标量乘法 $r\mathbf{v}$。
3. 验证公理:
   • 作者指出，向量空间的定义公理中，已经包含了群作用所需两条公理。
   • 公理1 (单位元): 群 $(\mathbb{R}^*, \times)$ 或 $(\mathbb{C}^*, \times)$ 的单位元是标量 $1$。向量空间的公理之一就是 $1\mathbf{v} = \mathbf{v}$。这正好对应群作用的公理1。
   • 公理2 (结合律/兼容性): 群内的运算是标量的乘法。我们要验证 $(rs)\mathbf{v} = r(s\mathbf{v})$。这正是向量空间关于标量乘法的另一条公理！
4. 结论:
   • 任何一个（实/复）向量空间 $V$ 都是其标量域的乘法群（$\mathbb{R}^*$ 或 $\mathbb{C}^*$）的一个 $G$-集合。

这个例子和例16.4、16.5一样，是纯粹在群论内部构造的作用，并且具有极其重要的理论意义。

1. 设定:
   • $G$ 是一个群，$H$ 是 $G$ 的一个子群。
   • 被作用的集合 $X$ 不是 $G$ 本身，而是由 $H$ 在 $G$ 中划分出的所有左陪集构成的集合。我们记这个集合为 $L_H = \{xH \mid x \in G\}$。$L_H$ 的元素是陪集（它们是 $G$ 的子集），而不是 $G$ 的元素。
   • 作用群是整个群 $G$。
2. 作用定义:
   • 群元素 $g \in G$ 作用在集合元素（一个陪集）$xH \in L_H$ 上，结果定义为另一个陪集 $(gx)H$。
   • 直观理解: $g$ 作用在 $xH$ 上，就是用 $g$ 左乘 $xH$ 的代表元 $x$，得到新的代表元 $gx$，然后取 $gx$ 所在的陪集。
3. 验证良定义性 (Well-definedness):
   • 这是一个至关重要的步骤。因为一个陪集可以有多个代表元，比如如果 $h' \in H$，那么 $xH = (xh')H$。我们定义的作用结果是 $(gx)H$。如果我们用另一个代表元 $xh'$，结果会是 $g(xh')H = (gxh')H$。我们必须保证 $(gx)H = (gxh')H$。
   • 证明: 两个陪集 $aH$ 和 $bH$ 相等，当且仅当 $a^{-1}b \in H$。
   • 我们要比较 $(gx)H$ 和 $(gxh')H$。
   • 我们计算 $(gx)^{-1}(gxh') = x^{-1}g^{-1}gxh' = x^{-1}exh' = x^{-1}xh' = h'$。
   • 因为我们一开始就假设 $h' \in H$，所以 $(gx)^{-1}(gxh')$ 确实在 $H$ 中。
   • 因此 $(gx)H = (gxh')H$。
   • 所以，作用的定义与代表元的选择无关，是良定义的。
   • 书中的证明思路是：$yH=xH \implies y=xh$ (对于某个$h \in H$)。那么 $g(yH)=(gy)H=(g(xh))H = (gxh)H$。因为 $h \in H$，所以 $hH = H$。因此 $(gx)(hH)=(gx)H$。所以 $g(yH) = g(xH)$。
4. 验证群作用公理:
   • 公理1 (单位元): $e$ 作用在 $xH$ 上是 $(ex)H = xH$。成立。
   • 公理2 (兼容性): 我们要验证 $(g_1 g_2)(xH) = g_1(g_2(xH))$。
   • 左边：$(g_1 g_2)$ 作用在 $xH$ 上，根据定义是 $((g_1 g_2)x)H$。
   • 右边：$g_2$ 作用在 $xH$ 上是 $(g_2 x)H$。现在让 $g_1$ 作用在这个新陪集上，其代表元是 $g_2 x$。根据定义，结果是 $(g_1(g_2 x))H$。
   • 由于在群 $G$ 中结合律成立，$(g_1 g_2)x = g_1(g_2 x)$。
   • 所以左右两边的陪集代表元相同，因此陪集也相同。公理2成立。
5. 理论意义:
   • 作者最后提到，这个例子是构造所有群作用的“基本积木”。任何一个G-集合，都可以看作是若干个像 $L_H$ 这样的陪集空间的不交并（在同构意义下）。这将在练习14-17中被证明。特别地，任何传递的 G-集合 都同构于某一个 $L_H$。

这个例子提供了一个非常具体、几何直观性强的群作用实例，用于阐释后续将要定义的稳定子群和轨道等概念。

1. 设定:
   • 群 $G$ 是正方形的对称群 $D_4$，它有8个元素：
   • $\rho_0, \rho_1, \rho_2, \rho_3$: 分别是逆时针旋转 0, 90, 180, 270 度。
   • $\mu_1$: 关于水平中轴线 $m_1$ 的翻转。
   • $\mu_2$: 关于垂直中轴线 $m_2$ 的翻转。
   • $\delta_1$: 关于主对角线 $d_1$ (连接顶点1和3) 的翻转。
   • $\delta_2$: 关于副对角线 $d_2$ (连接顶点2和4) 的翻转。
   • 集合 $X$ 是与正方形相关的所有几何特征的集合，总共有 $4+4+2+2+1+4 = 17$ 个元素：
   • 4个顶点: $\{1, 2, 3, 4\}$
   • 4条边: $\{s_1, s_2, s_3, s_4\}$ ($s_1$是顶点1和2之间的边，以此类推)
   • 2条中轴线: $\{m_1, m_2\}$
   • 2条对角线: $\{d_1, d_2\}$
   • 1个中心点: $\{C\}$
   • 4个边的中点: $\{P_1, P_2, P_3, P_4\}$ ($P_1$是边$s_1$的中点)
2. 作用定义:
   • $D_4$ 的元素（一个对称操作）作用在 $X$ 的元素（一个几何特征）上，其结果是该操作完成后，原来那个几何特征“跑”到了哪个新特征的位置上。
   • 这是一个“自然”的作用，其背后是整个平面在刚体运动下的变换。
3. 理解作用表 (Table 16.10):
   • 表格的每一行代表一个群元素（一个操作），每一列代表一个集合元素（一个几何特征）。
   • 表格中的条目，就是行对应的操作作用在列对应的特征上，得到的结果。
   • 如何填写表格 (以 $\rho_1$ 行为例):
   • 作用于顶点: $\rho_1$ (逆时针转90度)。顶点1转到2的位置，2转到3，3转到4，4转到1。所以在1,2,3,4列下分别填2,3,4,1。
   • 作用于边: 边 $s_1$ (1-2) 转到了边 $s_2$ (2-3) 的位置。$s_2$ 转到 $s_3$，$s_3$ 转到 $s_4$，$s_4$ 转到 $s_1$。所以在 $s_1,s_2,s_3,s_4$ 列下填 $s_2,s_3,s_4,s_1$。
   • 作用于中轴线: 水平轴 $m_1$ 转90度后变成了垂直轴 $m_2$。垂直轴 $m_2$ 转90度后变成了水平轴，但方向相反，不过作为一条轴我们仍记为 $m_1$。所以在 $m_1, m_2$ 列下填 $m_2, m_1$。
   • 作用于对角线: 对角线 $d_1$ (1-3) 转90度后到了 $d_2$ (2-4) 的位置。所以在 $d_1, d_2$ 列下填 $d_2, d_1$。
   • 作用于中心点: 中心点 $C$ 在任何旋转下都不动。所以在 $C$ 列下填 $C$。
   • 作用于边的中点: $P_1$ (边 $s_1$ 的中点) 转90度后，到了边 $s_2$ 的中点 $P_2$ 的位置。以此类推。所以在 $P_1,P_2,P_3,P_4$ 列下填 $P_2,P_3,P_4,P_1$。
   • 如何填写表格 (以 $\mu_1$ 行为例):
   • 作用于顶点: $\mu_1$ (关于水平轴 $m_1$ 翻转)。顶点1和2互换，3和4互换。所以在1,2,3,4列下填2,1,4,3。
   • 作用于边: 边 $s_1$ (1-2) 留在原地。边 $s_3$ (3-4) 留在原地。边 $s_2$ (2-3) 和边 $s_4$ (4-1) 互换位置。所以在 $s_1,s_2,s_3,s_4$ 列下填 $s_1,s_4,s_3,s_2$。
   • 作用于中轴线: 轴 $m_1$ 和 $m_2$ 都在翻转后保持不变。所以在 $m_1, m_2$ 列下填 $m_1, m_2$。
   • 作用于对角线: 对角线 $d_1$ 和 $d_2$ 互换位置。所以在 $d_1, d_2$ 列下填 $d_2, d_1$。
   • 作用于中心点: 中心点 $C$ 不动。
   • 作用于边的中点: $P_1$ 和 $P_3$ 不动。$P_2$ 和 $P_4$ 互换位置。
   • 读者应自行验证表中的其他行，以确保完全理解这个作用是如何发生的。

这段话引入了两个核心概念，它们都是围绕着“不动”这个条件 $gx=x$ 来定义的，但视角完全不同。

1. 核心条件: $gx=x$。意思是群元素 $g$ 作用在集合元素 $x$ 上， $x$ 保持不动。
2. 第一个定义: $X_g$ (不动点集)
   • 定义: $X_g = \{x \in X \mid gx=x\}$
   • 视角: 我们 固定 一个群元素 $g$ (一个操作)，然后去集合 $X$ 中寻找所有在这个操作下保持不变的元素。
   • 命名: $X_g$ 称为在 $g$ 作用下的不动点集 (set of fixed points)。下标 $g$ 表示这是与特定操作 $g$ 相关联的。
   • 类型: $X_g$ 是 集合 $X$ 的一个子集。
3. 第二个定义: $G_x$ (稳定子群)
   • 定义: $G_x = \{g \in G \mid gx=x\}$
   • 视角: 我们 固定 一个集合元素 $x$ (一个物体)，然后去群 $G$ 中寻找所有不能移动这个物体的操作。
   • 命名: $G_x$ 称为 $x$ 的稳定子群 (stabilizer subgroup) 或 迷向子群 (isotropy subgroup)。下标 $x$ 表示这是与特定物体 $x$ 相关联的。
   • 类型: $G_x$ 是 群 $G$ 的一个子集。（我们很快会证明它是一个子群）。

这个例子是上一段定义的直接应用，它利用表格16.10来计算几个具体的 $X_g$ 和 $G_x$。

1. 计算 $X_g$ (不动点集):
   • $X_{\rho_0}$: $\rho_0$ 是单位元（旋转0度）。它让所有元素都保持不动。因此，它的不动点集是整个集合 $X$。$X_{\rho_0} = X$。
   • $X_{\rho_1}$: $\rho_1$ 是逆时针旋转90度。我们查看表格16.10中 $\rho_1$ 所在行。我们寻找该行中值与列标题相同的项。只有 C 列的值是 C。所以 $X_{\rho_1} = \{C\}$。这在几何上很直观：只有中心点在旋转90度后还在原位。
   • $X_{\mu_1}$: $\mu_1$ 是关于水平中轴线 $m_1$ 的翻转。我们查看 $\mu_1$ 所在行。值为 s1, s3, m1, m2, C, P1, P3 的列分别是 $s_1, s_3, m_1, m_2, C, P_1, P_3$。几何上，所有在这条轴上的点（$m_1, C, P_1, P_3$）和关于这条轴对称的线（$m_2$）以及自身就是对称轴的边（$s_1, s_3$）都不会动。所以 $X_{\mu_1} = \{s_1, s_3, m_1, m_2, C, P_1, P_3\}$。
2. 计算 $G_x$ (稳定子群):
   • $G_1$: 我们要找所有让顶点1保持不动的操作。我们固定在表格的第1列（代表顶点1），然后从上往下看，寻找值为1的行。
   • $\rho_0$ 行：值为1。所以 $\rho_0 \in G_1$。
   • $\delta_2$ 行：值为1。所以 $\delta_2 \in G_1$。
   • 其他行在第1列的值都不是1。
   • 所以 $G_1 = \{\rho_0, \delta_2\}$。几何上，能让左上角顶点1不动的操作，只有“什么都不做”和“沿着通过另两个顶点(2,4)的对角线翻转”。
   • $G_{s_3}$: 我们要找所有让边 $s_3$（下边）保持不动的操作。固定在 $s_3$ 列，寻找值为 $s_3$ 的行。
   • $\rho_0$ 行：值为 $s_3$。
   • $\mu_1$ 行：值为 $s_3$。
   • 所以 $G_{s_3} = \{\rho_0, \mu_1\}$。几何上，能让下边不动的操作，只有“什么都不做”和“沿着水平中轴线翻转”（这条轴穿过下边的中点 $P_3$）。
   • $G_{d_1}$: 我们要找所有让对角线 $d_1$ 保持不动的操作。固定在 $d_1$ 列，寻找值为 $d_1$ 的行。
   • $\rho_0$ 行：值为 $d_1$。
   • $\rho_2$ 行：值为 $d_1$ (旋转180度，对角线回到原位)。
   • $\delta_1$ 行：值为 $d_1$ (沿着 $d_1$ 自身翻转)。
   • $\delta_2$ 行：值为 $d_1$ (原文表格 $\delta_2$ 行 $d_1$ 列是 $d_1$，但几何上，沿 $d_2$ 翻转 $d_1$ 会到 $d_1$ 自身吗？不会，它会映到自身，但如果是有向的就不一样了。我们姑且相信表格。$\delta_2$ 作用于 $d_1$，顶点1->1, 4->2, 3->3, 2->4。 $d_1$ 是 1-3，作用后还是 1-3。$d_2$ 是 2-4，作用后是 4-2，还是 $d_2$。所以 $\delta_2$ 也固定 $d_1$。表格中 $\delta_1, \delta_2$ 行在 $d_1, d_2$ 列块是单位矩阵，这说明 $\delta_i$ 固定 $d_i$ 且固定 $d_j$。这在几何上是对的。）。
   • 所以 $G_{d_1} = \{\rho_0, \rho_2, \delta_1, \delta_2\}$。这是一个大小为4的子群。

这个定理及其证明确立了 $G_x$ 的代数结构。

1. 观察与猜想: 作者首先指出，在例16.11中我们计算出的 $G_1, G_{s_3}, G_{d_1}$ 都是 $D_4$ 的子群，而不仅仅是子集。这启发我们去证明这个结论在普遍情况下都成立。
2. 定理陈述: 对于任何一个 G-集合 $X$ 和其中任何一个元素 $x$，它的稳定子集 $G_x$ 实际上是 $G$ 的一个子群。
3. 证明: 为了证明一个子集是子群，我们需要验证三条（或使用子群判别法）：
   • a) 非空性 (通常通过证明单位元在其中)。
   • b) 运算封闭性。
   • c) 逆元封闭性。
   • 证明步骤:
   • 证明单位元在其中 (非空性):
   • 根据群作用的公理1，$ex=x$ 对于所有 $x$ 都成立。
   • 因此，$e$ 满足进入 $G_x$ 的条件 ($gx=x$)。
   • 所以 $e \in G_x$。
   • 证明运算封闭性:
   • 取任意两个元素 $g_1, g_2 \in G_x$。
   • 根据 $G_x$ 的定义，这意味着 $g_1 x = x$ 和 $g_2 x = x$。
   • 我们要证明它们的乘积 $g_1 g_2$ 也在 $G_x$ 中，即证明 $(g_1 g_2)x = x$。
   • 开始计算：$(g_1 g_2)x$
   • $= g_1(g_2 x)$ (根据群作用的公理2)
   • $= g_1(x)$ (因为 $g_2 \in G_x$，所以 $g_2 x = x$)
   • $= x$ (因为 $g_1 \in G_x$，所以 $g_1 x = x$)
   • 所以 $(g_1 g_2)x = x$，证明了 $g_1 g_2 \in G_x$。
   • 证明逆元封闭性:
   • 取任意一个元素 $g \in G_x$。这意味着 $gx=x$。
   • 我们要证明它的逆元 $g^{-1}$ 也在 $G_x$ 中，即证明 $g^{-1}x = x$。
   • 我们从已知的 $gx=x$ 出发。
   • 用 $g^{-1}$ 作用于等式两边：$g^{-1}(gx) = g^{-1}x$。
   • 左边根据公理2是 $(g^{-1}g)x = ex$。
   • 根据公理1，ex=x。
   • 所以，我们得到 $x = g^{-1}x$。
   • 这就证明了 $g^{-1} \in G_x$。
4. 结论: 因为 $G_x$ 包含单位元，且对群运算和求逆元封闭，所以 $G_x$ 是 $G$ 的一个子群。

这是一个正式的术语定义。

1. 上下文: 设有一个群 $G$ 作用在集合 $X$上，且 $x$ 是 $X$ 中的一个特定元素。
2. 定义: 我们在前面已经定义了集合 $G_x = \{g \in G \mid gx=x\}$。
3. 定理16.12 刚刚证明了这个集合 $G_x$ 是一个子群。
4. 命名: 现在，我们给这个子群 $G_x$ 一个正式的名字，称之为“$x$的稳定子群”（stabilizer of $x$）。
5. 总结: “$x$的稳定子群” 就是 $G$ 中所有那些让 $x$ 保持不动的操作构成的子群。

这段话通过一个具体的观察，引出了本节的另一个核心概念——轨道。

1. 观察 (以 $D_4$ 作用于顶点为例):
   • 观察1 (封闭性): 让我们看看集合 $X$ 中的一个子集 $V = \{1,2,3,4\}$ (顶点集合)。如果我们从 $V$ 中取一个元素（比如顶点1），再从 $D_4$ 中取任意一个操作（比如旋转90度 $\rho_1$），得到的结果 $\rho_1(1)=2$ 仍然在 $V$ 中。你可以检查表格的第一到第四列，会发现无论施加哪个 $D_4$ 的操作，结果永远是1,2,3,4中的一个。这个子集在 $D_4$ 的作用下是“封闭的”。
   • 观察2 (连通性/传递性): 在这个子集 $V$ 内部，我们可以从任何一个顶点到达任何另一个顶点。想从1到3？用 $\rho_2$。想从2到4？用 $\rho_2$。想从1到4？用 $\rho_3$。这个子集内部是“完全连通”的。
2. 引出概念:
   • 像 $\{1,2,3,4\}$ 这样一个在群作用下既封闭又内部连通的子集，就是一个“轨道”的直观例子。
   • 作者接着预告，任何一个 G-集合 $X$ 都可以被完美地划分（partition）成若干个这样的子集（轨道）。划分意味着这些子集互不相交，且它们的并集等于整个 $X$。

这个定理是定义轨道的基石。它通过定义一个关系 $\sim$，并证明它是一个等价关系，来为划分集合 $X$ 提供理论依据。

1. 定义关系 $\sim$:
   • 在集合 $X$ 的元素之间定义一个关系，记作 $\sim$。
   • 两个元素 $x_1$ 和 $x_2$ 之间有关系 $x_1 \sim x_2$，当且仅当“我们可以通过 $G$ 中的某个操作 $g$ 把 $x_1$ 变到 $x_2$”。
   • 直观理解: $x_1 \sim x_2$ 意味着 "$x_1$ 和 $x_2$ 是可以相互到达的" (至少单向可以)。
2. 证明 $\sim$ 是等价关系:
   • 要证明一个关系是等价关系，必须验证它满足三条性质：自反性、对称性和传递性。
   • a) 自反性 (Reflexive): 对任意 $x \in X$，是否 $x \sim x$？
   • 我们需要找一个 $g \in G$ 使得 $gx=x$。
   • 群 $G$ 总有单位元 $e$，而根据群作用公理1，$ex=x$。
   • 所以我们找到了这个 $g$（就是 $e$）。因此 $x \sim x$ 成立。
   • b) 对称性 (Symmetric): 如果 $x_1 \sim x_2$，是否 $x_2 \sim x_1$？
   • $x_1 \sim x_2$ 意味着存在 $g \in G$ 使得 $gx_1 = x_2$。
   • 我们要找一个 $g' \in G$ 使得 $g'x_2 = x_1$。
   • 因为 $g$ 是群元素，它有逆元 $g^{-1} \in G$。
   • 我们用 $g^{-1}$ 作用在 $gx_1=x_2$ 两边：$g^{-1}(gx_1) = g^{-1}x_2$。
   • 左边是 $(g^{-1}g)x_1 = ex_1 = x_1$。
   • 所以我们得到 $x_1 = g^{-1}x_2$。
   • 我们找到了 $g' = g^{-1}$。因此 $x_2 \sim x_1$ 成立。
   • c) 传递性 (Transitive): 如果 $x_1 \sim x_2$ 且 $x_2 \sim x_3$，是否 $x_1 \sim x_3$？
   • $x_1 \sim x_2$ 意味着存在 $g_1 \in G$ 使得 $g_1 x_1 = x_2$。
   • $x_2 \sim x_3$ 意味着存在 $g_2 \in G$ 使得 $g_2 x_2 = x_3$。
   • 我们要找一个 $g' \in G$ 使得 $g'x_1 = x_3$。
   • 我们将第一个等式代入第二个：$x_3 = g_2 x_2 = g_2(g_1 x_1)$。
   • 根据群作用公理2，$g_2(g_1 x_1) = (g_2 g_1)x_1$。
   • 因为 $G$ 是群，$g_1, g_2 \in G$，所以它们的乘积 $g_2 g_1$ 也在 $G$ 中。
   • 我们找到了 $g' = g_2 g_1$。因此 $x_1 \sim x_3$ 成立。
3. 结论: 因为 $\sim$ 满足自反、对称、传递三条性质，所以它是一个等价关系。

这是轨道的正式定义。

1. 回顾: 定理16.14 告诉我们，关系 "$x_1 \sim x_2 \iff \exists g \in G, gx_1=x_2$" 是一个等价关系。
2. 等价关系划分集合: 任何一个集合上的等价关系，都会把这个集合划分成一系列互不相交的子集，这些子集称为等价类。每个等价类由所有相互等价的元素组成。
3. 轨道就是等价类: 这个定义直接把“轨道”这个词，定义为就是这个等价关系下的等价类（或称为单元 cell）。
4. $x$ 的轨道:
   • 对于集合 $X$ 中的某一个特定元素 $x$，它所在的那个等价类，就被称为“$x$ 的轨道”。
   • 这个等价类包含哪些元素呢？根据等价关系的定义，它包含所有与 $x$ 等价的元素 $y$。
   • $y \sim x \iff$ 存在 $g \in G$ 使得 $gx=y$。
   • 所以，$x$ 的轨道就是 $\{gx \mid g \in G\}$，即从 $x$ 出发，用 $G$ 中所有可能的操作去作用于它，所能得到的所有元素的集合。
5. 轨道记号:
   • $x$ 的轨道被记为 $Gx$。
   • 这个记号非常直观，就像是把整个群 $G$“乘”在了元素 $x$ 上。
   • 所以 $Gx = \{gx \mid g \in G\}$。

这是本节，乃至整个群作用理论中最重要的定理之一：轨道-稳定子定理。

1. 定理的意义:
   • 它建立了一个群作用的“几何”属性（轨道的大小）和一个纯“代数”属性（稳定子群的指数）之间的精确数量关系。
2. 定理陈述:
   • 设 $X$ 是一个 G-集合，任取一个元素 $x \in X$。
   • 核心等式: $|Gx| = (G: G_x)$。
   • 左边 $|Gx|$: $x$ 所在轨道的基数（包含的元素个数）。
   • 右边 $(G: G_x)$: $x$ 的稳定子群 $G_x$ 在群 $G$ 中的指数。指数的定义是 $G$ 中 $G_x$ 的左陪集（或右陪集）的个数。
   • 推论 (当 G 有限时):
   • 如果群 $G$ 是有限的，根据拉格朗日定理，我们有 $|G| = |G_x| \cdot (G: G_x)$。
   • 将核心等式代入，得到 $|G| = |G_x| \cdot |Gx|$。
   • 这个公式清楚地表明，轨道的大小 $|Gx| = |G| / |G_x|$。
   • 因此，轨道的大小 $|Gx|$ 必须是整个群的阶 $|G|$ 的一个约数。

这是轨道-稳定子定理的证明。核心思想是构造一个从轨道 $Gx$ 到 $G_x$ 的左陪集空间 $L_{G_x}$ 的双射（一一映射）。如果能构造出这样的双射，就证明了这两个集合的基数相等，即 $|Gx| = |L_{G_x}| = (G:G_x)$。

1. 构造映射 $\psi$:
   • 定义域: 轨道 $Gx$。
   • 值域: $G_x$ 的左陪集空间 $L_{G_x} = \{gG_x \mid g \in G\}$。
   • 规则: 对于轨道中的任意一个元素 $x_1 \in Gx$，我们知道它一定可以被写成 $g_1 x$ 的形式（对于某个 $g_1 \in G$）。我们就定义 $\psi(x_1)$ 是把这个 $g_1$ 拿出来，构造的陪集 $g_1 G_x$。
   • 即 $\psi(g_1 x) = g_1 G_x$。
2. 证明 $\psi$ 是良定义的 (Well-defined):
   • 问题: 轨道中的一个元素 $x_1$ 可能由不同的群元素作用于 $x$ 得到。比如，可能 $x_1 = g_1 x$ 并且 $x_1 = g_1' x$。如果这样，我们的定义会给出两个结果 $\psi(x_1) = g_1 G_x$ 和 $\psi(x_1) = g_1' G_x$。我们必须证明这两个结果是同一个陪集。
   • 证明:
   • 假设 $g_1 x = g_1' x$。
   • 用 $g_1^{-1}$ 作用于两边：$g_1^{-1}(g_1 x) = g_1^{-1}(g_1' x)$。
   • $(g_1^{-1}g_1)x = (g_1^{-1}g_1')x \implies ex = (g_1^{-1}g_1')x \implies x = (g_1^{-1}g_1')x$。
   • $g_1^{-1}g_1'$ 这个操作让 $x$ 保持不动。根据稳定子群 $G_x$ 的定义，这意味着 $g_1^{-1}g_1' \in G_x$。
   • 根据陪集的性质，$a^{-1}b \in H \iff aH=bH$。
   • 所以，$g_1 G_x = g_1' G_x$。
   • 这证明了无论我们选择哪个代表 $x_1$ 的 $g$，最终得到的陪集都是一样的。$\psi$ 是良定义的。
3. 证明 $\psi$ 是单射的 (Injective):
   • 问题: 我们要证明如果 $\psi(x_1) = \psi(x_2)$，那么必然 $x_1=x_2$。
   • 证明:
   • 设 $x_1 = g_1 x$ 和 $x_2 = g_2 x$。
   • 假设 $\psi(x_1) = \psi(x_2)$，这意味着 $g_1 G_x = g_2 G_x$。
   • 根据陪集相等的性质，这意味着 $g_1^{-1}g_2 \in G_x$。
   • 我们把 $g_1^{-1}g_2$ 这个整体记作 $h$。那么 $h \in G_x$，且 $g_2 = g_1 h$。
   • 现在我们来计算 $x_2$:
   • $x_2 = g_2 x = (g_1 h)x = g_1(hx)$。
   • 因为 $h \in G_x$，所以 $hx=x$。
   • 所以 $x_2 = g_1(x) = g_1 x$。
   • 而 $g_1 x$ 正是 $x_1$。
   • 所以 $x_2=x_1$。$\psi$ 是单射的。（原文证明中有一点小瑕疵，g_2 \in g_1 G_x 直接推导出 g_2 = g_1 g for some g in G_x，然后 x_2=...=x_1。但它的逻辑是对的。）
4. 证明 $\psi$ 是满射的 (Surjective):
   • 问题: 我们要证明值域中的任何一个陪集，都能在定义域中找到一个元素映射到它。
   • 证明:
   • 取一个任意的左陪集 $g_1 G_x$。
   • 我们需要找一个 $x_1 \in Gx$ 使得 $\psi(x_1) = g_1 G_x$。
   • 我们构造一个轨道元素 $x_1 = g_1 x$。这个 $x_1$ 显然在轨道 $Gx$ 中。
   • 根据 $\psi$ 的定义，$\psi(x_1) = \psi(g_1 x) = g_1 G_x$。
   • 我们成功地为任意一个陪集找到了它的“原像”。$\psi$ 是满射的。
5. 结论:
   • 因为 $\psi$ 是一个从 $Gx$到 $L_{G_x}$ 的双射（既单又满），所以这两个集合的大小相等：$|Gx| = |L_{G_x}|$。
   • 而 $L_{G_x}$ 的大小就是指数 $(G:G_x)$ 的定义。
   • 所以 $|Gx| = (G:G_x)$。定理证毕。
6. 有限群推论:
   • 对于有限群，由拉格朗日定理，$(G:G_x) = |G|/|G_x|$。
   • 所以 $|Gx| = |G|/|G_x|$，即 $|G| = |Gx| \cdot |G_x|$。
   • 因为 $|Gx|$ 是 $|G|$ 除以一个整数，所以 $|Gx|$ 必然是 $|G|$ 的一个约数。

这段话是对刚刚证明过程的一个核心思想的提炼和强调。定理的等式结果很重要，但理解其背后的对应关系更为深刻。

1. 核心思想: 把元素 $x$ 变到轨道上另一个特定点 $x_1 = g_1 x$ 的所有操作，不多不少，正好构成了陪集 $g_1 G_x$。
2. 证明这个思想:
   • 第一部分 (陪集中的元素都能做到):
   • 设 $g'$ 是陪集 $g_1 G_x$ 中的任意一个元素。
   • 根据陪集定义，$g'$ 可以写成 $g_1 h$ 的形式，其中 $h \in G_x$ (稳定子群)。
   • 我们来看 $g'$ 作用在 $x$ 上的结果：$g'x = (g_1 h)x$。
   • $= g_1(hx)$ (根据群作用公理2)。
   • 因为 $h \in G_x$，所以 $hx=x$。
   • 所以 $g'x = g_1(x) = g_1 x = x_1$。
   • 结论: 陪集 $g_1 G_x$ 里的任何一个操作，都能把 $x$ 变到 $x_1$。
   • 第二部分 (能做到的元素都在陪集中):
   • 假设有一个操作 $g_2$ 也能把 $x$ 变到 $x_1$，即 $g_2 x = x_1$。
   • 我们已经知道 $g_1 x = x_1$。所以 $g_2 x = g_1 x$。
   • 用 $g_1^{-1}$ 作用两边：$g_1^{-1}(g_2 x) = g_1^{-1}(g_1 x)$。
   • $(g_1^{-1}g_2)x = (g_1^{-1}g_1)x = ex = x$。
   • 这说明 $(g_1^{-1}g_2)$ 这个元素让 $x$ 保持不动。
   • 根据稳定子群的定义，这意味着 $g_1^{-1}g_2 \in G_x$。
   • 根据陪集的性质，$a^{-1}b \in H \iff b \in aH$。
   • 所以，$g_2 \in g_1 G_x$。
   • 结论: 任何能把 $x$ 变到 $x_1$ 的操作 $g_2$，都必然属于陪集 $g_1 G_x$。
3. 总结: 综合两部分，我们得出结论：能把 $x$ 变到 $g_1 x$ 的操作，不多不少，恰好就是 $g_1 G_x$ 这个陪集里的所有元素。